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初一 · 绝对值与数轴(数形结合)

以小卷第 9 题(工大月考)为例:读点 → 折叠对称 → |x-a|+|x-b| 几何最值 → 加权中位数。拖动各页彩色点即可验证解法。
生活锚点小卷第 9 题:两个绝对值相加取最小值。看着是代数,画到数轴上却是——怎么走最短路。
第(1)问

① 读点:B = ? C = ?

图上三点的读数,直接写答案。拖动探针看任意位置的数值。

A = -5 | B = -2 | C = 6

答案:B = -2,C = 6

第(2)问

② 折叠数轴:B、C 重合,A 落到几?

折叠轴 = B、C 的中点。拖动 A 点,看它关于折叠轴的对称点 A′ 实时变化。

B = -2,C = 6 → 折叠轴 x = 2 | A 拖动到 -5 → 对称点 A′ = 9

公式:A′ = 2·中点 − A = 2×2 − (−5) = 9。答案:9

第(3)问 ①②

③ |x−a|+|x−b| 的最小值

把 x 拖到两个定点之间:距离和 = 两点间距(最小);拖到外面则变大。默认 a=3、b=6(对应①)。

a = 3 b = 6 | x = 4.0 | |x−a|+|x−b| = 3.0

最小 = |a−b| = 3,当且仅当 x ∈ [a, b]。① 答案:3(x∈[3,6])。

第(3)问 ④

④ 加权中位数:2|2x−1|+|3x−2|+|x−5/2|+|2x−7|+|3x−9|

把每项化成 k·|x−零点|,权重 k 堆在零点上。拖动 x 看表达式值;最低点就是"权重过半"的零点。

x = 0.67 | 表达式值 = —

零点与权重:½(4)、⅔(3)、5/2(1)、7/2(2)、3(3),总权重 13,过半 6.5 → 落在 ⅔。答案:x = 2/3,最小值 = 91/6

项2|2x−1||3x−2||x−5/2||2x−7||3x−9|
化形4|x−½|3|x−⅔|1|x−5/2|2|x−7/2|3|x−3|
权重43123