1与绝对值相关求值
已知 (a+b)²+|b+5|＝b+5，2a-b+1＝0，则 ab 的值＝______。
解析
- 等式右边为 b+5，左边 |b+5|≥0，故必须有 b+5≥0，即 |b+5|=b+5。
- 代入得 (a+b)²=0，所以 a+b=0，即 b=-a。
- 联立 2a-b+1=0：2a-(-a)+1=0 ⇒ 3a+1=0 ⇒ a=-1/3。
- 于是 b=1/3，ab=(-1/3)×(1/3)=-1/9。
2符号和求值
有理数 a,b,c 均不为 0，且 a+b+c=0。设 x=|a|/(b+c)+|b|/(c+a)+|c|/(a+b)，求 x¹⁹+99x+2000 的值。
解析
由 a+b+c=0 得 b+c=-a，c+a=-b，a+b=-c，所以 x=-(|a|/a+|b|/b+|c|/c)=-(符号和)。
因为三数不能同号，只可能：
| 情况 | 符号和 | x | x¹⁹+99x+2000 |
|---|---|---|---|
| 两正一负 | +1 | -1 | 1900 |
| 两负一正 | -1 | +1 | 2100 |
3数轴化简绝对值
有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示（a<b<0<c，且 |a|>|c|），则 |a+c|+|c-b|-|b+a|＝（ ）
解析
由数轴位置及 |a|>|c| 知：a+c<0，c-b>0，b+a<0。
原式 = -(a+c)+(c-b)-[-(a+b)] = -a-c+c-b+a+b = 0。
4和为0、积为负
a,b,c 是有理数，a+b+c=0，abc<0，求 (b+c)/|a|+(a+c)/|b|+(a+b)/|c| 的值。
解析
abc<0 且 a+b+c=0 ⇒ 恰有 1 个负数、2 个正数。
不妨设 a<0，b>0，c>0：
- (b+c)/|a|=(-a)/(-a)=1
- (a+c)/|b|=(-b)/b=-1
- (a+b)/|c|=(-c)/c=-1
和 = 1-1-1 = -1。由对称性，无论哪个为负，结果不变。
5数轴距离与绝对值最值
数轴上两点之间的距离等于相对应的两数差的绝对值。
解析
| 小问 | 计算 | 答案 |
|---|---|---|
| (1) | |5-2|=3；|-2-(-8)|=6 | 3；6 |
| (2) | |x+1|=2 ⇒ x=1 或 -3 | 1 或 -3 |
| (3) | 最小值 = |-1 到 2 的距离| = 3 | [-1,2] |
| (4) | 三点 p<3<p+15，中点 x=3，最小值=(3-p)+(p+12)=15 | 15 |
6用几何意义解方程
① |x+2|+|x-3|=5；② =2；③ =8。求 x。
解析
左边表示 x 到 -2 与 x 到 3 的距离之和，最小值为 5。
- ① =5：x 落在 [-2,3] 上。
- ② =2<5：无解。
- ③ =8>5：x 在线段外。x<-2 时 -2x+1=8 ⇒ x=-3.5；x>3 时 2x-1=8 ⇒ x=4.5。
7非负和为 0
已知 |x-2|+|x+y-5|+|y-1|=y-1，则 x+y 的值为（ ）
解析
左边≥0 ⇒ 右边 y-1≥0，即 y≥1。此时 |y-1|=y-1。
原式化简为 |x-2|+|x+y-5|=0。
两个非负数同时为 0：x-2=0 且 x+y-5=0 ⇒ x=2，y=3。
8多变量绝对值乘积
x,y,z 满足 (|x+1|+|x-2|)(|y-1|+|y-3|)(|z-1|+|z+2|)=18，求 x+2y+3z 的最大值与最小值。
解析
| 因子 | 最小值 | 取到条件 |
|---|---|---|
| |x+1|+|x-2| | 3 | x∈[-1,2] |
| |y-1|+|y-3| | 2 | y∈[1,3] |
| |z-1|+|z+2| | 3 | z∈[-2,1] |
3×2×3=18，故每个因子必须取最小值。
- 最大值：x=2,y=3,z=1 ⇒ 2+6+3=11
- 最小值：x=-1,y=1,z=-2 ⇒ -1+2-6=-5
9数轴折叠与加权中位数
如图，数轴上 A=-5，B=-2，C=6。
解析
| 小问 | 要点 | 答案 |
|---|---|---|
| (1) | 直接读数轴 | B=-2，C=6 |
| (2) | 对称中心 2，A 的像为 2×2-(-5)=9 | 9 |
| (3)-① | 3 到 6 的距离 | 3 |
| (3)-② | x∈[-3,4] | 整数和 4 |
| (3)-③ | 权重 2,2,5，中位点 x=4 | x=4 |
| (3)-④ | 总权重 13，中位点 x=2/3 | x=2/3，最小值 91/6 |