初一 · 三点距离和的最值（数形结合）

|x−p| + |x−3| + |x−(p+15)| 的最小值

零点：p、3、p+15。P 在 A(−1)、B(3) 之间 ⇒ −1 < p < 3，故 p < 3 < p+15，中间零点永远是 3。

拖动 P，看三零点的排序始终 p < 3 < p+15

金绿点为 P（对应数 p，限在 −1 与 3 之间拖动）。灰点为 A=−1、B=3；右侧金点为 p+15。无论 p 怎么动，三零点顺序不变，中间那根恒是 x=3。

函数 y=|x−p|+|x−3|+|x−(p+15)| 的图形：最低点恰在 x=3

图形是「陡—缓—缓—陡」的折线，最低尖点（最小值）落在中间零点 x=3。拖动 x 看函数值变化；点按钮跳到最小点验证。注意无论 p 怎么变，最低点始终在 x=3、高度始终为 15。

三点距离和：最小在中位数，最小=两端点距

对 |x−a|+|x−b|+|x−c|（a≤b≤c），当 x 取中间零点 b 时和最小，最小值 = c−a（两端点距离）。本题 a=p、b=3、c=p+15 ⇒ 最小点 x=3，最小值=(p+15)−p=15。与 Q9③「双点→区间内平」对照：点数奇则落在单点，点数偶则落在区间。

答案：最小值 = 15（与 p 无关，只要 P 在 A、B 之间）。