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轴对称

八年级 · 轴对称 · 关于一条线「照镜子」

什么是轴对称

如果一个图形沿一条直线对折,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就是轴对称图形,这条直线叫对称轴。把两个图形成轴对称时,对应点叫对称点

对称轴一定是直线(可以无限延长,不只是画出来的那一段)。对称点的连线和对称轴之间有一个铁律:

对称点连线 ⊥ 对称轴,且对称轴经过连线中点(垂直平分)

🪞 生活类比:照镜子时,你和镜中人的连线垂直于镜面,镜子正好在你们正中间——这就是「垂直平分」。蝴蝶、天坛、书法「中」字、交通标志,都是轴对称。

母题:照镜子

对称点 A 与 A′:AA′ ⊥ 对称轴,交点即 AA′ 中点

把对称轴想成一面镜子,A′ 就是 A 在镜中的像。下面三个互动就从「连线的垂直平分」「翻折重合」「自己画镜像」三个角度把这条规律摸透。

动手①:拖对称轴,验证垂直平分

蓝点 A 与青点 A′ 是一对已知的对称点(连线水平,中点横坐标 240)。拖动中间竖直对称轴,看它何时正好垂直且平分这条连线——也就是穿过中点。

连线 AA′ 中点横坐标 = 240
对称轴 x = 240
垂直平分:垂直 ✓;经过中点 ✗

怎么求对称轴 / 对称点

已知两点关于某竖直轴对称,对称轴就是它们连线的垂直平分线

  • 对称轴横坐标 = 两对称点横坐标的平均数
  • 例:A(2,5)、A′(−4,5),对称轴 x = (2+(−4))/2 = −1
  • 点 (a,b) 关于直线 x=m 的对称点是 (2m−a, b)

例题:

  • 点 (3,2) 关于 x=1 的对称点:2×1−3 = −1(−1, 2)
  • 点 (−2,4) 关于 x=0(y轴) 的对称点:2×0−(−2)=2 → (2,4)
  • 检验:对称点连线的中点必在对称轴上。

动手②:折叠——看两边重合

右侧图形沿中间对称轴翻折到左侧,与左半边的「镜中像」完全重合。拖动折叠进度 f 看翻折过程,f=100% 时两边严丝合缝。

右侧翻折到 0%

画轴对称图形:把每个点「照镜子」

要画一个图形关于某轴的对称图形,只需把每个顶点都作出对称点,再依次连起来。顶点对称了,整个图形就对称了。下一步你来亲手点。

✂️ 剪纸原理:把纸对折,在折痕一侧剪出形状,展开后两侧严丝合缝——正因为折痕是对称轴,两侧是彼此的镜像。

动手③:画出轴对称图形

左边蓝三角形是「原图」,中间竖直轴是对称轴。点击右侧三个青色目标位置(每个顶点的镜像点),把对称图形点出来。点错位置可「清空」重来,或点「一键点全」看完整结果。

已点出:0 / 3 个对称点

提示:每个对称点与原点关于对称轴左右对称,纵坐标不变。

轴对称能用来干嘛?

小试牛刀(基础)

① 轴对称图形的对称轴是一条______。

② 对称点连线被对称轴______。

③ 下列是轴对称图形的是? A.平行四边形 B.等腰三角形 C.任意梯形

④ 圆有______条对称轴。

小试牛刀(进阶)

⑤ 点 (3, 2) 关于直线 x=1 的对称点是?(填"(−1,2)")

⑥ A(2,5) 与 A′(−4,5) 成轴对称,对称轴 x = ?

⑦ 等边三角形有______条对称轴。

⑧ 正方形有______条对称轴。

本节小结

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