八年级 · 整式乘法与因式分解 · 把算式看成「面积」
整式乘法：把几个整式乘在一起，得到的和式。比如 (x+2)(x+3) = x²+5x+6，从「积」变「和」。
因式分解：把一个多项式写成几个整式相乘的形式，比如 x²+5x+6 = (x+2)(x+3)，从「和」变「积」。
下面用「面积」这个母题，把抽象的字母运算变成看得见的拼图。
乘法 ⇔ 拼面积；分解 ⇔ 拆面积
母题把代数式看成一块块地板的面积。两个括号相乘，就是两块边长相乘得到一个大长方形；因式分解，就是把大长方形重新切成公因子的小块。运算变成了拼拼图。
大长方形长 (a+b)、宽 (c+d)。用十字线切成四块，每块面积恰好是一项。拖动 a、b、c、d，看四块面积之和是否等于 (a+b)(c+d)。
把第一个括号里的每一项，分别去乘第二个括号里的每一项，再合并同类项：
(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd
例题：(x+2)(x+3) = x·x + x·3 + 2·x + 2·3 = x² + 5x + 6。这里 x 的系数是 5（来自 3x+2x）。
(a+b) 米、宽 (c+d) 米的地板，可以分成四块小地板分别计价再相加——和代数一模一样。把 (a+b)² 看成边长为 (a+b) 的大正方形。它由一个 a² 角块、一个 b² 角块、以及两个 ab 长条拼成——所以中间项是 2ab，不是 ab！拖动 a、b 亲眼验证。
和的平方
(a+b)² = a² + 2ab + b²
三块：a² 角块 + 两个 ab 长条 + b² 角块。
差的平方
(a−b)² = a² − 2ab + b²
从 a² 大方块里，先切掉一个 b×(a−b) 长条、再切掉一个 (a−b)×b 长条，多切掉的 b² 要补回来。
例题：(2x+1)² = (2x)² + 2·(2x)·1 + 1² = 4x² + 4x + 1；一次项系数是 4。
切换两种方法。①提取公因式：拖动 k 选公因式，看 6x²+9x 能否写成 kx(…)；②平方差公式：输入 a、b，验证 a²−b² = (a−b)(a+b)。
例题：6x²+9x = 3x·2x + 3x·3 = 3x(2x+3)（公因式 3x）。
例题：4x²−9 = (2x)²−3² = (2x−3)(2x+3)。
① (x+2)(x+3) 展开后，x 项的系数是？（填数字）
② 因式分解：x²+2x = ______（填 x(...) 形式）
③ 多项式乘法 (a+b)(c+d) 展开后共有几项？
④ 因式分解与整式乘法是______关系。
⑤ 完全平方式 (a+b)² 中间项是？（填如 2ab）
⑥ 6x²+9x 提取公因式后是？（填 3x(...) 形式）
⑦ (2x+1)² 展开后，一次项的系数是？（填数字）
⑧ 平方差公式：a²−b² = (a−b)(______)。（填如 a+b）