九年级 · 圆 · 圆周角、切线与弧长
在平面内，到定点（圆心 O）的距离等于定长（半径 r）的所有点组成的图形叫圆。圆上任意两点间的部分叫弧，两点叫弧的端点。
圆上任意一段弧，都对应两个角：一个是顶点在圆心的圆心角，一个是顶点在圆周上的圆周角。它们之间有一个非常优美的恒定关系——这正是圆的核心母题。
同弧所对的圆周角 = ½ × 该弧所对的圆心角
同一条弧 AB，不管圆周角的顶点 C 在圆周的哪个位置（只要在同侧），∠ACB 的大小都不变，而且永远等于圆心角 ∠AOB 的一半。下面用真正的几何计算来验证它，而不是"写死"结果。
拖动滑块改变圆心角 α，再拖动青色顶点 C 在圆周上移动。右侧实时算出真正的圆周角（由三角形内角公式得出），看它是否始终等于对应弧圆心角的一半。当 C 落在不含弧 AB 的那段弧上时，圆周角 = α/2；落在含弧 AB 的弧上时，圆周角 = (360°−α)/2。
提示：拖动圆周上的青点 C 改变位置
把上式反过来想：既然圆周角永远是对应弧圆心角的一半，而同一条弧的圆心角是固定的，那么同一段弧所对的任意圆周角都相等。这是圆里证明角相等最常用的依据。
与圆只有一个公共点的直线叫切线，这个公共点叫切点。定理：圆的切线垂直于过切点的半径。拖动切点 T 改变位置，再拖动切线旋转，看夹角何时变成 90°——只有当切线与半径垂直时才"贴住"圆。
拖动圆心角 θ 和半径 r，看弧长与扇形面积如何实时变化。公式：弧长 l = (θ/360)·2πr = (θπ/180)·r，扇形面积 S = (θ/360)·πr²。它们都和圆心角 θ 成正比。
① 同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的______。
② 同弧所对的圆周角大小______。（填"相等"或"不相等"）
③ 圆的切线与过切点的半径互相______。（填"垂直"或"平行"）
④ 圆心角为 60° 的弧，长度是整圆周长的______。
⑤ 圆心角为 100°，同弧所对的圆周角 = ?（填数字）
⑥ 圆心角为 90° 的扇形，面积是整圆面积的______。
⑦ 一条弦所对的圆周角有两类，它们的关系是______（填"互补"或"相等"）。
⑧ 从圆外一点向圆引两条切线，两条切线长______。（填"相等"或"不相等"）
