九年级 · 一元二次方程 · 一根数轴解不开，就开平方
只含一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程。常见形式：
ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0）
x² = 4 能直接开平方得 x = ±2；但 x² + 4x + 3 = 0 左边不是"平方"，得先把左边配成平方才能开方——这就是"配方法"。ax² + bx + c = 0 ⇔ (x + b/2a)² = (b² − 4ac)/4a²
母题把方程配成「完全平方 = 常数」：左边是平方（永远非负），右边是常数。右边 ≥ 0 才有实数解，右边 < 0 就无解（出现虚数）。下面三步把"配方"玩明白。
把 x² + bx + c（这里 a=1）配成 (x + p)² = q，其中 p = b/2，q = p² − c。点「播放配方」看步骤动画：先给 x²+bx 补上 (b/2)² 凑成平方，再把 c 移项得到 q。改 b、c 看 q 怎么变。
回想两个公式：
(x + m)² = x² + 2mx + m²
一次项系数 2m，所以 m = (一次项系数)/2。
(x − m)² = x² − 2mx + m²
减号形式同理，m 仍是系数绝对值的一半。
所以 x² + bx 只要补上 (b/2)² 就能凑成 (x + b/2)²。这就是配方法的灵魂。
拖动 a、b、c，看 Δ 的符号如何决定根的个数：Δ>0 两不等实根，Δ=0 两相等实根，Δ<0 无实根。下面还画出抛物线 y = ax²+bx+c——它和 x 轴的交点个数，正好等于实根个数。
把一般式一直配方到底，就得到万能的求根公式：
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) = (−b ± √Δ) / (2a)
它把"解任意一元二次方程"变成纯代入计算。只要算出 Δ，根就直接出来了：
x₁ = (−b+√Δ)/2a，x₂ = (−b−√Δ)/2a（两个不同实根）。x = −b/2a。输入 a、b、c，小天用求根公式计算并实时显示两根。当 Δ < 0 时，提示"无实根"。
一块矩形绿地，长比宽多 2 米，面积 8 平方米。设宽为 x 米，列方程：
x(x + 2) = 8 → x² + 2x − 8 = 0
配方：x² + 2x + 1 = 9 → (x+1)² = 9 → x+1 = ±3 → x = 2 或 x = −4。宽度不能为负，所以宽 2 米、长 4 米。
ax²+bx+c=0，再选配方法或公式法求解；解出后记得舍去不符合实际的负根。基础（4 题）
① 一元二次方程 ax²+bx+c=0 中，字母 ___ 不能等于 0？
② 判别式 Δ = ?
③ 当 Δ < 0 时，方程有____实根。
④ 方程 (x−3)² = 0 的根是？
进阶（4 题）
⑤ 用求根公式解 x²−5x+6=0，两根为？（提示：输入两个根）
⑥ 方程 2x²+3x−2=0 的判别式 Δ = b²−4ac = 9 − 4×2×(−2) = ?（填数字）
⑦ 当 Δ = 0 时，方程的两个根____。
⑧ 方程 x²+x+1=0 的实根个数是？（填数字 0）