一次函数 · 小天

它长什么样？

形如 y = k x + b (k ≠ 0) 的函数，叫一次函数。当 b = 0 时就是正比例函数 y = kx。

为什么叫「一次」？因为 x 的最高次数是 1。它的图像永远是一条直线——这正是一次函数的几何意义：x 每增加 1，y 就固定增加 k，变化是均匀的。

💡 想一想：出租车计价起步价 10 元 + 每公里 2 元，总费用 y = 2x + 10 就是一次函数；而 y = x²（面积随边长平方增长）就不是，因为 x 出现了 2 次。

拖动滑块看直线如何随 k、b 变化，注意交点 (0, b) 在 y 轴上的位置。也可以点预设按钮快速看典型直线。

k（斜率）= 1.0 b（截距）= 0.0

当前：y = 1.0x + 0.0

k 的符号决定直线「上升还是下降」：

b 决定直线与 y 轴交哪里：

🧭 过哪几个象限，由 k、b 符号联手决定：k>0,b>0 → 一、二、三；k>0,b<0 → 一、三、四；k<0,b>0 → 一、二、四；k<0,b<0 → 二、三、四。

只要直线上有两个不同的点，直线就唯一确定，解析式也唯一确定。拖动下面两个珊瑚点，看直线怎么变，右侧实时算出 k 和 b。

y = 1.33x + 3.00

k=1.33 b=3.00

提示：k = (y₂−y₁)/(x₂−x₁)，再代入任一点求 b。

把「过两点求直线」写成规范步骤，就是待定系数法：

例题：直线经过 (1, 3) 和 (2, 5)，求 k、b。

k = ? b = ?

一次函数和方程、不等式是「一家」：直线和 x 轴的交点的 x 值，就是方程 kx+b=0 的解；直线在 x 轴上方的那一段，对应不等式 kx+b>0。拖动 k、b 感受这种对应。

k = 1.0 b = -2.0

方程解：x=2.00

不等式：x > 2.00

匀速运动是最典型的一次函数：速度 v 不变时，路程 s = vt + s₀（s₀ 是初始位置）。

这些例子的图像都是直线，斜率就是「单位变化率」，截距就是「起点」。

① 下列哪个不是一次函数？

A. y=2x+1 B. y=−x C. y=x² D. y=½x−3

② y = −2x + 4 与 y 轴交点的坐标是？

③ k>0 且 b<0 时，直线不经过第几象限？

④ 正比例函数 y = 3x 中，截距 b = ？

⑤ y = 2x − 1 与 x 轴交点的横坐标 x = ？

⑥ k<0 且 b>0 时，直线经过的象限是？

⑦ 直线过 (0,2) 和 (1,5)，求 k、b。

⑧ 对 y = −x + 3，当 x > 3 时，y 与 0 的大小关系是？