看见「变化」与「累积」——初中之后的第一座高峰
初中我们一直在算「确定的量」：一个方程的解、一个三角形的面积。但现实里更多问题是变化与累积：车速怎么变、路程累计多少、曲线围成多大一块。
微积分只做两件事，而且都用同一个魔法——无限逼近（极限）：
本课用最简单的函数 f(x)=x² 当例子，带你把这两个概念「看见」。
先想一个例子：一辆车从静止匀加速，路程 s = ½·a·t²。问「第 3 秒时有多快？」这不是问 0~3 秒的平均速度，而是问第 3 秒那一刻的快慢——这就是「瞬时速度」。
数学上怎么做？先取一小段 h：用 [x₀, x₀+h] 上的平均变化率（割线斜率）去近似，再让 h → 0 无限逼近那一刻。下面动手感受这个「逼近」过程：
拖动 h 变小：珊瑚色割线会一点点贴向青色切线。当 h→0，割线斜率就变成「导数」。x₀ 决定看曲线的哪一点。
写成公式，导数就是「差商的极限」：
f'(x₀) = limh→0 ( f(x₀+h) − f(x₀) ) / h
对 f(x)=x²，代入算一下：( (x₀+h)² − x₀² ) / h = (2x₀h + h²)/h = 2x₀ + h，让 h→0 就得到 f'(x₀)=2x₀。漂亮！所以 x² 的导数是 2x。
f(x)=c→ 0f(x)=x→ 1f(x)=x²→ 2xf(x)=xⁿ→ n·xⁿ⁻¹上面是「幂函数」的求导规律（最后一行是通用公式，记住它，高中会反复用）。
导数不只是一个数——每个 x 都对应一个导数值，这些导数值自己又连成一条新曲线，叫「导数函数 f'(x)」。下面拖动 x，看蓝色原曲线 f(x)=x² 上的红点，如何带着青色导数曲线 f'(x)=2x 上的青点一起走：
红点沿 f(x)=x² 移动，珊瑚切线绕动；青点在同一 x 处落在导数曲线 f'(x)=2x 上。切线有多陡，青点就跳多高。
再想：已知瞬时速度 v(t)，怎么求总路程？把时间切成很多小段，每段近似匀速，算出小段路程再全部加起来——段数越多越准。这就是黎曼和。
算 ∫₀² x² dx 围出的面积，直接求不容易。办法是用很多细矩形条去填，条数越多、单条越薄，面积和就越逼近真实值 8/3。而且取每段的左端点 / 中点 / 右端点高度，精度还不一样：
拖动条数变大，珊瑚矩形越来越贴合蓝曲线。对 x² 这种上升曲线：左端点低估、右端点高估、中点最准。看右侧「误差」如何变化。
积分的写法 ∫₀² x² dx 各部分含义：
本例正好能精确算：∫ x² dx = x³/3，所以 ∫₀² x² dx = 2³/3 − 0 = 8/3 ≈ 2.667。黎曼和逼近的，正是这个数。
最神奇的事来了：积分是导数的逆运算。这叫微积分基本定理。
前面说 x² 的导数是 2x。现在反过来：把 2x 当作「被积函数」，从 0 积到某个上界 X，得到的面积 F(X)=∫₀^X 2t dt = X²——恰好又回到 x²！拖动下面的 X，看青色阴影面积如何随 X 长大，而它的「增长快慢」（对 X 求导）正好等于被积函数 2X 的高度：
阴影面积 F(X)=X²。把 F 关于 X 求导，得到 F'(X)=2X，正是被积函数。这就是「积分与导数互逆」。
一句话记住：导数看「瞬间快慢」，积分看「长期累积」，两者互为逆运算，由极限缝合。
函数 f(x)=x²，在 x=3 处的导数是？
函数 f(x)=2x，它的导数是？（常数斜率）
割线斜率 ( f(x₀+h)−f(x₀) ) / h，当 h→0 时的极限叫什么？
按幂函数规律，f(x)=x³ 的导数是？
∫₀² x dx 围成的面积（三角形）等于？
∫₀² x² dx = ？请填精确分数（如 8/3）
导数在几何上，等于曲线上该点的什么？（三个字）
微积分基本定理说：积分是导数的什么运算？（三个字）
黎曼和中，矩形条数越多，近似面积越____真实值。