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投影与视图

九年级 · 投影与视图 · 把立体图形「拍扁」成三视图

什么是三视图?

把物体正对着三个方向投影,得到三张平面图:

📐 母题「三视图」:同一物体,三个方向的「影子」。规律——主俯长对正、主左高平齐、俯左宽相等

母题:三视图

主视图 + 俯视图 + 左视图 ⇔ 唯一确定物体的形状与大小

视图里的每一条线,都是物体上某个面或棱的投影。画视图时,看不见的棱用虚线表示。正方体展开图共有 11 种能折成正方体的「网」。

动手①:给立体图形,选出主视图

上方是由小正方体搭成的立体图形(等轴测示意)。下方 A、B、C 三个都是它的投影图之一。请判断:哪个是主(正)视图?点按钮验证。

点按钮判断

怎么想三视图?

想象自己站在物体正前方:看到的是「每一列最高的那块」的轮廓。主视图的每一列高度 = 该 x 位置上所有 y 里堆叠最高的 cubes 数。

动手②:正方体堆叠,数个数、画三视图

左边是俯视网格(每格的数字=该处叠了几层小正方体)。点击格子可让层数在 0→1→2→3→0 之间循环。右侧实时画出主视图左视图,并统计总个数。总数 = 各格层数之和。

三视图与个数

总小正方体数 = 俯视图各格数字相加。主视图第 x 列的高度 = 该列各格数字的最大值;左视图第 y 列的高度 = 该行各格数字的最大值。

💡 反过来:已知三视图,也能反推物体最少/最多用几个正方体——这是中考常见题型。

动手③:展开图,能折成正方体吗?

下面是一种正方体的表面展开图(「网」)。判断它能否折成一个完整的正方体,点「能/不能」验证;点「下一题」换一个。正方体展开图共 11 种

生活里的三视图

小试牛刀(基础 4 + 进阶 4)

① 从物体正前方看到的视图叫______视图。

② 从正上方往下看得到的视图叫______视图。

③ 三视图的投影规律「主俯长对正、主左高平齐、俯左______相等」。

④ 正方体的表面展开图一共有______种。(填数字)

⑤ 一个 2×2×2 的大正方体由______个小正方体组成。(填数字)

⑥ 视图中看不见的棱,用______线表示。

⑦ 主视图反映物体的长和______。

⑧ 俯视图反映物体的长和______。

本节小结

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