锐角三角函数

从直角三角形说起

在一个直角三角形里，只要锐角 A 固定，三条边的比值就固定下来——和三角形的大小无关。这些比值就是 锐角三角函数。

设 ∠A 的对边为 a、邻边（除斜边外另一条直角边）为 b、斜边为 c：

sin A = a/c    cos A = b/c    tan A = a/b

母题：直角三角形中的边比

同一个锐角 A，比值 sinA / cosA / tanA 只由 A 决定

母题把锐角 A 和三种边比绑在一起：拖动 A，看三条边怎么变，但三个比值只随 A 单调变化。下面用真实长度算比值，而不是写死。

动手①：拖锐角，读 sin / cos / tan

拖动滑块改变锐角 A（0°~90°），斜边固定为 130。小天用实际画出的边长算出对边/斜边、邻边/斜边、对边/邻边，并和理论三角函数值核对。

三个函数之间的关系

• 平方关系：sin²A + cos²A = 1（由勾股定理 a²+b²=c² 两边同除以 c² 得到）。
• 商的关系：tan A = sin A / cos A。
• 增减性：A 增大时，sinA、tanA 增大，cosA 减小。

动手②：特殊角 30° / 45° / 60°

这三个角的三角函数值是"背下来"的常客。点下面的按钮看对应直角三角形和精确比值。

特殊角速查

• 30°：sin=1/2，cos=√3/2，tan=√3/3（即 1/√3）。
• 45°：sin=cos=√2/2，tan=1（等腰直角三角形）。
• 60°：sin=√3/2，cos=1/2，tan=√3（与30°互换 sin/cos）。

动手③：解直角三角形

已知两条边，就能求出第三边和两个锐角。拖动两条直角边 a、b，看斜边 c = √(a²+b²) 和锐角 A = arctan(a/b) 实时算出。

解直角三角形的套路

• 已知两边：用勾股定理求第三边，用 tan/sin/cos 求角。
• 已知一边一角：用三角函数直接求另外两边。
• 两个锐角永远互余：∠A + ∠B = 90°。

小试牛刀（基础 4 + 进阶 4）

本节小结

• 定义：sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边。
• 母题「边比」：比值只由锐角 A 决定，与三角形大小无关。
• 关系：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA。
• 特殊角：30°(1/2,√3/2,√3/3)、45°(√2/2,√2/2,1)、60°(√3/2,1/2,√3)。
• 解直角△：已知两边用勾股求第三边，用反三角求角；两锐角互余。

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