平面直角坐标系
七年级 · 平面直角坐标系 · 用两个数锁定一个点
两个数，定一个点
在平面上，单说「第 5 个位置」不够用——还得说清横向第几、纵向第几。这就是有序数对的思想。
- 两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系：水平的叫 x 轴（横轴），竖直的叫 y 轴（纵轴），交点叫原点 O。
- 点 P 的位置用有序数对 P(a, b) 表示，a 是横坐标、b 是纵坐标（顺序不能颠倒！）。
- 平面被坐标轴分成四个象限，符号规律：一(+,+)、二(−,+)、三(−,−)、四(+,−)。
- 落在 x 轴或 y 轴上的点不算任何象限：x 轴上 y=0，y 轴上 x=0。
🎬 生活类比：电影院座位用「几排几座」(排,座) 来定位；地图用「经度,纬度」；棋盘用「列,行」。都是「先横后纵、两个数一起」的有序数对。先把 (a,b) 想成座位号，就不容易搞混顺序和象限了。
母题：坐标网格
平面上任一点 ↔ 唯一有序数对 (a, b)
母题把整个平面铺成方格网：从原点向右 a 格、向上 b 格，就落到唯一的点 P(a, b)。下面三件事都围绕这张网格展开——读坐标、看象限、算距离。
动手①：点一点，读出它的坐标
在平面上按下并拖动珊瑚点，看小天实时报出这个点的坐标 (x, y) 和它所在的象限。也可以点预设按钮快速定位典型点。
P = (3.0, 2.0)
第一象限 (+, +)
坐标与对称：镜子里的点
利用坐标，对称性可以「算」出来，不必画图靠猜：
点 P(a, b) 的对称点是：
- 关于 x 轴对称 → (a, −b)（横坐标不变，纵坐标变号）
- 关于 y 轴对称 → (−a, b)
- 关于 原点对称 → (−a, −b)
例题：
- 点 (3, 4) 关于 x 轴对称点是 (3, −4)。
- 点 (−2, 5) 关于 y 轴对称点是 (2, 5)。
- 点 (1, −1) 关于原点对称点是 (−1, 1)。
动手②：象限符号速查
拖动小点，看它落在哪个象限，右侧实时显示横坐标 x 和 纵坐标 y 各自的符号（＋还是 −）。记住：象限只由符号决定。
横坐标 x = 2.0 → 符号 +
纵坐标 y = 3.0 → 符号 +
所在象限：第一象限 (+, +)
一(+,+) 二(−,+) 三(−,−) 四(+,−)；落在轴上不算象限。
两点之间：距离公式与中点公式
平面里任意两点 A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，可看成直角三角形斜边，用勾股定理推出：
距离 d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]
中点 M = ( (x₁+x₂)/2 , (y₁+y₂)/2 )
- 例：A(1,2)、B(4,6)。横差 3、纵差 4，d = √(3²+4²) = 5；中点 M(2.5, 4)。
- 当两点同横（x₁=x₂）时，距离就是 |y₂−y₁|；同纵时距离是 |x₂−x₁|。
🧭 口诀：「右减左、上减下」分别平方，加起来开方就是距离；横纵坐标各取平均数就是中点。这和数轴上「|大−小|」是一脉相承的。
动手③：拖两点，看距离与中点
拖动蓝点 A 和青点 B（靠近哪个就拖哪个），右侧实时算出它们之间的距离 d 和中点 M。也可点预设按钮看经典组合。
距离 d = 5.00
中点 M = (2.5, 4.0)
坐标能用来干嘛？
- 导航与地图：GPS 把位置写成「经度,纬度」的有序数对，两点距离就是直线路程。
- 棋盘 / 像素：五子棋、屏幕每个像素点都有 (列,行) 坐标。
- 数据图表：折线图、散点图本质都是把「数据对」摆进坐标系。
- 机器人定位：扫地机器人用坐标记录自己走到了哪里、哪里还没扫。
本节小结
- 平面直角坐标系由x 轴（横）与 y 轴（纵）垂直相交而成，交点是原点 O。
- 点用有序数对 P(a, b) 表示，a 横坐标、b 纵坐标，顺序不能颠倒。
- 四个象限符号：一(+,+)、二(−,+)、三(−,−)、四(+,−)；坐标轴上的点不算象限。
- 对称：关于 x 轴→(a,−b)，关于 y 轴→(−a,b)，关于原点→(−a,−b)。
- 距离 d=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]，中点 M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。
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