买 2 支笔和 3 本本子共花 8 元，买 1 支笔比 1 本本子多花 1 元——怎么算出笔和本子各多少钱？
选一个你关心的问题，后面的内容会围绕它展开。
选择或输入后，本课会围绕你的问题展开。
① 方程 2x + 3 = 7 的解是？
2x + 3 = 7
② 若 y = 2x，当 x = 3 时 y =？
y = 2x
x = 3
y =
定义
含有两个未知数(如 x、y)，且含未知数项的次数都是 1的整式方程，例如 3x + 2y = 7。
3x + 2y = 7
二元一次方程的解
使方程两边相等的一对值 (x=a, y=b)。一个方程有无数组解。
(x=a, y=b)
二元一次方程组
共含两个未知数、各项次数都是 1、且由两个方程组成的方程组。
方程组的解
能同时满足两个方程的一对值 (x=a, y=b)，通常唯一。
每个二元一次方程都是一条直线；两条直线的交点，同时满足两个方程——它就是方程组的解。
💡 拖动滑块改变系数 a~f，观察两条直线的交点怎么变化；两直线平行时则无解。
🎞 上方动画示意：两条直线的交点（绿点）就是方程组的解；点击可重播。
🤔 为什么要学这个？ 已知：我们会解一元一次方程；但是：生活里常有两个未知量，一个方程解不出；因此：把一个未知数用另一个表示，把"二元"化回"一元"。
y = 10 - x
x = a, y = b
例题：解方程组 { x + y = 10 , 2x + y = 16 }。由①得 y = 10 - x，代入②：2x + (10 - x) = 16 → x = 6，回代得 y = 4。
{ x + y = 10 , 2x + y = 16 }
2x + (10 - x) = 16
x = 6
y = 4
解方程组 { x + 2y = 9 , 3x - y = 2 }。由①得 x = 9 - 2y，代入②应得到？
{ x + 2y = 9 , 3x - y = 2 }
x = 9 - 2y
选出你认为正确的代入式。
🤔 为什么要学这个？ 已知：代入法要变形再代入；但是：当两式同一未知数系数相等或相反时，代入反而麻烦；因此：直接把两式相加或相减，一次消去一个未知数。
例题：解方程组 { x + y = 10 , x - y = 2 }。两式相加：2x = 12 → x = 6；两式相减：2y = 8 → y = 4。
{ x + y = 10 , x - y = 2 }
2x = 12
2y = 8
解方程组 { 2x + 3y = 8 , 2x - y = 4 }。两式相减可直接消去 x，得到？
{ 2x + 3y = 8 , 2x - y = 4 }
选出正确的相减结果。
解方程组 { 2x + y = 7 , x - y = 2 }。用加减法两式相加可得？
{ 2x + y = 7 , x - y = 2 }
先消元求出 x，再回代求 y。
⚠ 易错点：①代入含加减的整式要加括号；②加减时等号左右两边同时操作；③求出一个未知数后别忘回代，解要写成 x=3, y=1 一对值。
x=3, y=1
① 方程 x + y = 5 中，若 x = 2，则 y =？
x + y = 5
x = 2
② 方程组 { x + y = 5 , x - y = 1 } 的解是？
{ x + y = 5 , x - y = 1 }
基础
用代入或加减法解：{ x + y = 5 , x - y = 1 }
提升
解：{ 3x + 2y = 12 , x = y + 1 }（体会代入法）
{ 3x + 2y = 12 , x = y + 1 }
挑战
用图象说明：什么情况下二元一次方程组无解？什么情况有无数解？
创造
设计：编一道生活中的二元一次方程组应用题，并列出对应的方程组与求解步骤。
本节点的前置、后续和同域知识。
小天
