二次根式 · 小天

√a 是什么

一般地，形如 √a（a ≥ 0）的式子叫二次根式。√a 表示那个非负的数，它的平方等于 a。也就是说：(√a)² = a，且 √a ≥ 0。

📏 两个铁律：①根号下必须非负（a≥0），否则在实数范围内没有意义；②开方结果一定非负。所以 √(a²) 不是 a，而是 |a|。

√a = 面积为 a 的正方形的边长

母题把 √a 画成正方形边长：面积 a 固定，边长就是 √a。于是「先平方再开方」可以理解成「先把边长拉长成 a，再找回原来那条非负边长」，结果自然是 |a|。

拖动 a 取正、取负、取 0，看 √(a²) 始终等于 |a|（非负）。这解释了为什么 √(a²) ≠ a（当 a<0 时）。试试 a=−4。

a = -4

√((-4)²) = 4 = |-4|

因为开方结果必须非负，所以 √(a²) 要把 a 的负号「剥掉」：

√(a²) = |a| = { a (a≥0) ; −a (a<0) }

例题：√((-5)²) = √25 = 5 = |−5|；√7² = 7。反过来，(√a)² = a（a≥0）。

两个非负数的平方根相乘，等于它们乘积的平方根。拖动 a、b（都 ≥ 0），看左边 √a·√b 与右边 √(ab) 是否始终相等。试试 a=4、b=9。

a=b=

√4·√9 = 2·3 = 6 = √36

乘法

√a·√b = √(ab)

要求 a≥0、b≥0。

除法

√a / √b = √(a/b)

要求 a≥0、b>0。

例题：√4·√9 = 2·3 = 6，而 √(4×9) = √36 = 6，相等。但注意：√a + √b ≠ √(a+b)（加法不能进根号！）。

最简二次根式要求：①根号内不含分母；②根号内不含能开得尽方的因数。拖动 n 看 √n 能否继续化简。若含平方因子 d²（d>1），就不是最简。试试 n=12、n=7。

n = 12

√12 = 2√3（含平方因子 2²，不是最简）

把根号里的数拆出平方因子：n = d²·m（m 不含平方因子），则 √n = d√m。

例题：√18 = √(9×2) = √9·√2 = 3√2；√50 = √(25×2) = 5√2；√7 已是最简（7 是质数，无平方因子）。

🧱 生活类比：√n 像把一块面积为 n 的地板，尽量拼成「最大的整方块 d×d」加「剩下的边角 m」——d 越大，开方越彻底。

① √16 = ?（填数字）

② √((-5)²) = ?（填数字）

③ 二次根式 √a 中，a 必须满足______。（填如 a≥0）

④ √(a²) 化简结果应写作 ______。（填如 |a|）

⑤ 若 a=9、b=4，则 √a·√b = ?（填数字）

⑥ √18 可以写成 ?√2（填系数数字）

⑦ 当 a=−7 时，√(a²) = ?（填数字）

⑧ 二次根式 √12 是否为最简？填"是"或"否"